Applicazione: domanda, offerta, equilibrio di mercato

Le funzioni di una variabile reale modellano un’enorme quantità di situazioni. Una delle più classiche è la relazione tra prezzo e quantità di un bene: la curva di domanda (decrescente) e la curva di offerta (crescente) si incontrano nel punto di equilibrio, soluzione di un sistema lineare. In questa applicazione vediamo i modelli lineari, il calcolo dell’equilibrio e alcune osservazioni su profitto ed elasticità della domanda.

• Curva di domanda
• Curva di offerta
• Equilibrio di mercato
• Profitto ed elasticità

Functions of a real variable model a huge number of situations. One of the most classic is the relationship between the price and the quantity of a good: the demand curve (decreasing) and the supply curve (increasing) meet at the equilibrium point, the solution of a linear system. In this application we look at the linear models, the computation of the equilibrium and some observations on profit and elasticity of demand.

• Demand curve
• Supply curve
• Market equilibrium
• Profit and elasticity

La relazione tra prezzo e quantità di un bene è uno dei modelli funzionali più classici: quanti prodotti sono disposti a comprare i clienti al variare del prezzo?

Definizione — Curva di domanda

La curva di domanda $D(p)$ esprime la quantità di un bene che i consumatori sono disposti ad acquistare in funzione del prezzo $p$. È una funzione decrescente di $p$: più alto il prezzo, meno acquisti. Modello lineare semplificato: $D(p) = a - b\,p, \qquad a,b>0.$ $a$ è la quantità richiesta a prezzo zero; $a/b$ è il prezzo di riserva (oltre il quale nessuno compra: $D(p)=0$).

Esempio — Farmaco anti-ansia di Gelmini & Cremonini

Un’azienda farmaceutica produce un farmaco a un costo di $5$ € a scatola. A prezzo zero i clienti ne acquisterebbero $10\,000$ scatole al mese; il prezzo massimo a cui qualcuno è disposto a comprarlo è $28$ € (oltre quel prezzo nessuno compra).

Imponendo che la domanda passi per i due punti $(0;\,10\,000)$ e $(28;\,0)$, la retta è $D(p) = -\frac{10\,000}{28}\,p + 10\,000 = 10\,000\Bigl(1 - \frac{p}{28}\Bigr).$ Per $p=14$ €: $D(14) = 5\,000$ scatole/mese.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di domanda · Prezzo di riserva
Funzioni: Retta
Metodi: Curva domanda lineare
Competenze: Modellizzare

The relationship between the price and the quantity of a good is one of the most classic functional models: how many products are customers willing to buy as the price varies?

Definition — Demand curve

The demand curve $D(p)$ expresses the quantity of a good that consumers are willing to buy as a function of the price $p$. It is a decreasing function of $p$: the higher the price, the fewer purchases. Simplified linear model: $D(p) = a - b\,p, \qquad a,b>0.$ $a$ is the quantity demanded at zero price; $a/b$ is the reservation price (beyond which nobody buys: $D(p)=0$).

Example — Gelmini & Cremonini's anti-anxiety drug

A pharmaceutical company produces a drug at a cost of $5$ € per box. At zero price customers would buy $10\,000$ boxes a month; the maximum price at which anyone is willing to buy it is $28$ € (beyond that price nobody buys).

Requiring the demand to pass through the two points $(0;\,10\,000)$ and $(28;\,0)$, the line is $D(p) = -\frac{10\,000}{28}\,p + 10\,000 = 10\,000\Bigl(1 - \frac{p}{28}\Bigr).$ For $p=14$ €: $D(14) = 5\,000$ boxes/month.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Demand curve · Reservation price
Functions: Line
Methods: Linear demand curve
Skills: Modelling

Dal lato dei produttori, la quantità immessa sul mercato cresce con il prezzo: conviene produrre di più quando si vende di più.

Definizione — Curva di offerta

La curva di offerta $S(p)$ esprime la quantità che i produttori sono disposti a immettere sul mercato in funzione del prezzo. È una funzione crescente: più alto il prezzo, più conviene produrre. Modello lineare: $S(p) = c\,p - d, \qquad c,d>0,\ p\ge d/c.$ $d/c$ è il prezzo di sopravvivenza sotto il quale non si produce affatto.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di offerta
Funzioni: Retta
Metodi: Curva offerta lineare
Competenze: Modellizzare

On the producers’ side, the quantity put on the market grows with the price: it is worth producing more when more is sold.

Definition — Supply curve

The supply curve $S(p)$ expresses the quantity that producers are willing to put on the market as a function of the price. It is an increasing function: the higher the price, the more worthwhile it is to produce. Linear model: $S(p) = c\,p - d, \qquad c,d>0,\ p\ge d/c.$ $d/c$ is the survival price below which nothing is produced at all.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Supply curve
Functions: Line
Methods: Linear supply curve
Skills: Modelling

Il prezzo a cui domanda e offerta si bilanciano è il punto di equilibrio: si trova risolvendo un sistema lineare $2\times 2$.

Definizione — Equilibrio di mercato

Il punto di equilibrio è la coppia $(p^*;\,q^*)$ in cui domanda e offerta si incontrano: $D(p^*) = S(p^*) = q^*.$ È la soluzione di un sistema lineare $2\times 2$. A quel prezzo il mercato “si svuota”: tutto il prodotto offerto viene venduto, e nessun cliente resta insoddisfatto.

Esempio — Calcolo dell'equilibrio

Per il farmaco anti-ansia precedente, con curva di offerta $S(p) = 500\,p - 2\,500$ (i produttori cominciano a vendere quando $p\ge 5$ € e ne offrono $500$ scatole in più per ogni euro di rincaro), l’equilibrio risolve $10\,000\Bigl(1-\frac{p}{28}\Bigr) = 500\,p - 2\,500.$ Moltiplicando per $28$: $280\,000 - 10\,000\,p = 14\,000\,p - 70\,000$, da cui $24\,000\,p = 350\,000$, $p^* = 350\,000/24\,000 \approx 14{,}58$ €. Quantità di equilibrio $q^* = D(14{,}58) \approx 4\,793$ scatole/mese.

La domanda $D(p)$ (decrescente) e l’offerta $S(p)$ (crescente, valida per $p\ge 5$ €) si incontrano nel punto di equilibrio $E^*\approx(14{,}58;\,4\,793)$.

A prezzi $p<p^*$ la domanda supera l’offerta (mancanza di prodotto, pressione al rialzo); a $p>p^*$ l’offerta supera la domanda (giacenze, pressione al ribasso). $p^*$ è il prezzo che “rispecchia” la disponibilità a pagare con il costo di produzione.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di domanda · Curva di offerta · Equilibrio di mercato
Funzioni: Retta
Metodi: Equilibrio mercato
Competenze: Modellizzare · Risolvere sistemi

The price at which demand and supply balance out is the equilibrium point: it is found by solving a $2\times 2$ linear system.

Definition — Market equilibrium

The equilibrium point is the pair $(p^*;\,q^*)$ at which demand and supply meet: $D(p^*) = S(p^*) = q^*.$ It is the solution of a $2\times 2$ linear system. At that price the market “clears”: all the product supplied is sold, and no customer is left unsatisfied.

Example — Computing the equilibrium

For the previous anti-anxiety drug, with supply curve $S(p) = 500\,p - 2\,500$ (producers start selling when $p\ge 5$ € and offer $500$ more boxes for each euro of price rise), the equilibrium solves $10\,000\Bigl(1-\frac{p}{28}\Bigr) = 500\,p - 2\,500.$ Multiplying by $28$: $280\,000 - 10\,000\,p = 14\,000\,p - 70\,000$, whence $24\,000\,p = 350\,000$, $p^* = 350\,000/24\,000 \approx 14{,}58$ €. Equilibrium quantity $q^* = D(14{,}58) \approx 4\,793$ boxes/month.

The demand $D(p)$ (decreasing) and the supply $S(p)$ (increasing, valid for $p\ge 5$ €) meet at the equilibrium point $E^*\approx(14{,}58;\,4\,793)$.

At prices $p<p^*$ demand exceeds supply (shortage of product, upward pressure); at $p>p^*$ supply exceeds demand (stockpiles, downward pressure). $p^*$ is the price that “matches” willingness to pay with the cost of production.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Demand curve · Supply curve · Market equilibrium
Functions: Line
Methods: Market equilibrium
Skills: Modelling · Solving systems

Il prezzo di equilibrio non è, in generale, quello che rende massimo il profitto: sono due obiettivi distinti. E per misurare quanto la domanda “reagisce” al prezzo si introduce l’elasticità.

Osservazione — Profitto del produttore vs equilibrio

Se il costo unitario di produzione è $c_0=5$ € a scatola, il profitto in equilibrio è $\pi^* = (p^* - c_0)\cdot q^* \approx (14{,}58 - 5)\cdot 4\,793 \approx 45\,950\ \text{€/mese}.$ Variando il prezzo, $\pi(p) = (p - c_0)\cdot D(p)$ è una parabola in $p$ il cui vertice individua il prezzo di massimo profitto, in generale diverso dal prezzo di equilibrio: massimizzare i ricavi e svuotare il mercato sono due obiettivi distinti. La determinazione analitica del massimo è il problema classico di ottimizzazione che riprenderemo studiando le derivate in Quarta.

Osservazione — Elasticità della domanda

Una misura di “quanto la domanda risponde al prezzo” è l’elasticità: $\varepsilon_D = -\frac{\Delta D / D}{\Delta p / p}.$ Per una domanda lineare $D(p)=a-bp$: $\varepsilon_D = bp/(a-bp)$, crescente in $p$. Quando $\varepsilon_D>1$ la domanda è elastica, quando $\varepsilon_D<1$ rigida. La forma rigorosa con le derivate (derivata logaritmica) si vedrà in Quinta.

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Elasticita · Equilibrio di mercato
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare

The equilibrium price is not, in general, the one that maximises profit: they are two distinct objectives. And to measure how much demand “reacts” to price we introduce elasticity.

Observation — Producer's profit vs equilibrium

If the unit cost of production is $c_0=5$ € per box, the profit at equilibrium is $\pi^* = (p^* - c_0)\cdot q^* \approx (14{,}58 - 5)\cdot 4\,793 \approx 45\,950\ \text{€/month}.$ As the price varies, $\pi(p) = (p - c_0)\cdot D(p)$ is a parabola in $p$ whose vertex gives the price of maximum profit, in general different from the equilibrium price: maximising revenue and clearing the market are two distinct objectives. The analytical determination of the maximum is the classic optimisation problem that we will take up again when studying derivatives in Year 4.

Observation — Elasticity of demand

A measure of “how much demand responds to price” is the elasticity: $\varepsilon_D = -\frac{\Delta D / D}{\Delta p / p}.$ For a linear demand $D(p)=a-bp$: $\varepsilon_D = bp/(a-bp)$, increasing in $p$. When $\varepsilon_D>1$ demand is elastic, when $\varepsilon_D<1$ inelastic. The rigorous form with derivatives (logarithmic derivative) will be seen in Year 5.

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Topics: Functions and properties
Concepts: Elasticity · Market equilibrium
Functions: Parabola
Skills: Modelling