Discussione di una conica dipendente da un parametro

Testo

Studia, al variare di $k$, di che conica si tratta: $(25 - k^2) (x-1)^{2} + (1 - k) (y+1)^{2} = (2 - k)(k+3).$ Distingui: ellisse, iperbole (specificando l’asse dei fuochi), coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, un punto, oppure nessun luogo.

Soluzione

Poniamo $A=25-k^2=(5-k)(5+k)$, $B=1-k$, $C=(2-k)(k+3)$. Il centro è sempre $(1;-1)$. I segni cambiano nei capisaldi $k=-5,-3,1,2,5$. Con $A(x-1)^2+B(y+1)^2=C$:

• $k<-5$: $A<0,\,B>0,\,C<0$ → iperbole, fuochi sull’asse orizzontale.
• $k=-5$: $A=0$, $B(y+1)^2=C<0$ → nessun luogo.
• $-5<k<-3$: $A>0,\,B>0,\,C<0$ → nessun luogo (somma di quadrati $=$ negativo).
• $k=-3$: $C=0$, $A,B>0$ → un punto $(1;-1)$.
• $-3<k<1$: $A>0,\,B>0,\,C>0$ → ellisse (fuochi sull’asse verticale, poiché $A>B$).
• $k=1$: $B=0$, $A(x-1)^2=C>0$ → coppia di rette parallele verticali.
• $1<k<2$: $A>0,\,B<0,\,C>0$ → iperbole, fuochi sull’asse orizzontale.
• $k=2$: $C=0$, $A>0,\,B<0$ → coppia di rette incidenti.
• $2<k<5$: $A>0,\,B<0,\,C<0$ → iperbole, fuochi sull’asse verticale.
• $k=5$: $A=0$, $B(y+1)^2=C<0$ con $B<0$ → coppia di rette parallele orizzontali.
• $k>5$: $A<0,\,B<0,\,C<0$ → ellisse (fuochi sull’asse orizzontale); per $k=\tfrac{1+\sqrt{97}}{2}$ si ha $A=B$, cioè una circonferenza.

$\boxed{\text{vedi la discussione per intervalli qui sopra}}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Conica · Ellisse · Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema geometrico