Porzione di iperbole da una funzione con radice

Testo

Considera la funzione $y = 1 - 2\sqrt{x^2 - 4x - 5}$.

• (a) determina il dominio (condizione di esistenza);
• (b) determina la condizione di concordanza sulla $y$;
• (c) eleva al quadrato e completa il quadrato per riconoscere la conica;
• (d) identifica tipo, centro, semiassi, vertici e asintoti;
• (e) traccia la sola porzione corrispondente alla funzione.

Soluzione

(a) $x^2-4x-5\ge0 \Rightarrow (x-5)(x+1)\ge0 \Rightarrow x\le-1 \ \vee\ x\ge5$.

(b) $1-y=2\sqrt{\cdots}\ge0 \Rightarrow y\le1$.

(c) $\left(\dfrac{1-y}{2}\right)^2=x^2-4x-5=(x-2)^2-9$, da cui $\dfrac{(x-2)^2}{9}-\dfrac{(y-1)^2}{36}=1$.

(d) Iperbole orizzontale di centro $C(2;1)$, $a=3$, $b=6$, vertici $(-1;1)$ e $(5;1)$, asintoti $y-1=\pm2(x-2)$; $c=3\sqrt5$, fuochi $(2\pm3\sqrt5;1)$.

(e) La funzione dà solo la metà inferiore ($y\le1$) dei due rami.

$\boxed{C(2;1),\ a=3,\ b=6,\ \text{vertici }(-1;1),(5;1)}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Completamento del quadrato · Condizioni di esistenza · Iperbole
Funzioni: Iperbole
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico