Fuochi, vertici, asintoti ed eccentricità

Dall’equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ si ricavano subito tutti gli elementi che servono a disegnare la curva.

Proprietà — Elementi dell'iperbole

Per l’iperbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$:

• Fuochi: $F_{1,2}(\mp c; 0)$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Vertici: $V_{1,2}(\mp a; 0)$. Sull’asse $y$ non ci sono vertici: ponendo $x = 0$ l’equazione diventa $-\tfrac{y^2}{b^2} = 1$, impossibile.
• Asintoti: $y = \pm \tfrac{b}{a}\,x$, due rette passanti per l’origine a cui l’iperbole si avvicina indefinitamente.
• Eccentricità: $e = c/a$, con $e > 1$.

A differenza dell’ellisse, l’iperbole interseca solo uno dei due assi (quello su cui giacciono i fuochi) ed è formata da due rami distinti che si aprono verso l’esterno lungo gli asintoti.

Lettura: l’iperbole $\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{3}=1$ ha vertici $V_{1,2}(\mp 2;0)$, fuochi $F_{1,2}(\mp\sqrt{7};0)\approx(\mp 2{,}83;0)$ e asintoti $y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}x$ (le due rette tratteggiate a cui i rami si avvicinano).

Nella simulazione seguente puoi variare i semiassi $a$ e $b$ e osservare come cambiano asintoti, fuochi ed eccentricità.

Trascina i cursori $a$ e $b$: asintoti $y=\pm\tfrac{b}{a}x$, fuochi $F_{1,2}(\mp c;0)$ ed eccentricità $e=c/a$ si aggiornano.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Eccentricita · Fuochi · Iperbole · Vertici
Funzioni: Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico