Circonferenze e parabole assegnate per condizioni

Testo

Svolgi le seguenti richieste:

• (a) scrivi l’equazione della circonferenza di centro $A(2;-1)$ e raggio $2$;
• (b) determina le tangenti alla circonferenza precedente passanti per $P(3;-3)$ (metodo della distanza);
• (c) scrivi l’equazione della parabola di vertice $V(2;2)$ passante per l’origine;
• (d) scrivi l’equazione della parabola passante per $A(2;1)$ che interseca l’asse $x$ in $x=-1$ e $x=3$;
• (e) trova centro e raggio della circonferenza $x^2+y^2+3x-2y-8=0$.

Soluzione

(a) $(x-2)^2+(y+1)^2=4$.

(b) $y+3=m(x-3)$; $\dfrac{|-m-2|}{\sqrt{m^2+1}}=2\Rightarrow 3m^2-4m=0\Rightarrow m=0\ \vee\ m=\tfrac43$. Tangenti $y=-3$ e $y=\tfrac43 x-7$.

(c) $y=a(x-2)^2+2$; per l’origine $0=4a+2\Rightarrow a=-\tfrac12$: $y=-\tfrac12(x-2)^2+2=-\tfrac12 x^2+2x$.

(d) $y=a(x+1)(x-3)$; per $A(2;1)$: $1=a(3)(-1)\Rightarrow a=-\tfrac13$: $y=-\tfrac13(x+1)(x-3)$.

(e) Centro $\left(-\tfrac32;1\right)$, $R=\sqrt{\tfrac94+1+8}=\dfrac{3\sqrt5}{2}\approx 3{,}35$.

$\boxed{a_{(c)}=-\tfrac12,\ a_{(d)}=-\tfrac13,\ C\left(-\tfrac32;1\right),\ R=\tfrac{3\sqrt5}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Centro · Equazione circonferenza · Parabola · Raggio · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico