Retta, punti, distanze e parabola con vertice massimo

Testo

Dati i punti $A(3;1)$, $B(-4;5)$ e la retta $s:2x-3y+1=0$:

• (a) scrivi $s$ in forma esplicita e rappresentala;
• (b) trova la retta per $A$ e $B$ e la sua intersezione con $s$;
• (c) determina l’angolo di inclinazione di $s$ rispetto all’asse $x$;
• (d) trova la retta per $A$ parallela a $s$;
• (e) trova la retta per $B$ perpendicolare a $s$;
• (f) trova la distanza tra $A$ e $s$;
• (g) trova la distanza tra $A$ e $B$;
• (h) disegna la parabola $y=-\dfrac{x^2}{2}-4x-3$ e dimostra che $B$ è il suo punto di massimo e che $A$ non appartiene al grafico.

Soluzione

(a) $s:\ y=\dfrac23 x+\dfrac13$ (pendenza $\tfrac23$, intercetta $\tfrac13$). (b) Retta $AB$: pendenza $\dfrac{5-1}{-4-3}=-\dfrac47$, quindi $y=-\dfrac47 x+\dfrac{19}{7}$. Intersezione con $s$: $-\dfrac47 x+\dfrac{19}{7}=\dfrac23 x+\dfrac13\Rightarrow x=\dfrac{25}{13},\ y=\dfrac{21}{13}$, cioè $\left(\dfrac{25}{13};\dfrac{21}{13}\right)\approx(1{,}92;1{,}62)$. (c) $\tan\alpha=\dfrac23\Rightarrow\alpha=\arctan\dfrac23\approx33{,}69^\circ$. (d) Parallela per $A(3;1)$: pendenza $\tfrac23$, $y-1=\dfrac23(x-3)\Rightarrow y=\dfrac23 x-1$ (cioè $2x-3y-3=0$). (e) Perpendicolare per $B(-4;5)$: pendenza $-\dfrac32$, $y-5=-\dfrac32(x+4)\Rightarrow y=-\dfrac32 x-1$. (f) $d(A,s)=\dfrac{|2\cdot3-3\cdot1+1|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{13}}=\dfrac{4\sqrt{13}}{13}\approx1{,}11$. (g) $d(A,B)=\sqrt{(3+4)^2+(1-5)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\approx8{,}06$. (h) Parabola: $x_V=-\dfrac{-4}{2\cdot(-1/2)}=-4$, $y_V=-\dfrac{16}{2}+16-3=5$: vertice $(-4;5)=B$. Poiché $a=-\dfrac12<0$ la concavità è verso il basso, quindi $B$ è il massimo. Per $A$: $y(3)=-\dfrac92-12-3=-19{,}5\neq1$, dunque $A$ non appartiene al grafico. $\boxed{AB\cap s=\left(\tfrac{25}{13};\tfrac{21}{13}\right);\ \alpha\approx33{,}69^\circ;\ d(A,s)=\tfrac{4\sqrt{13}}{13};\ d(A,B)=\sqrt{65};\ V=B(-4;5)\ \text{massimo}.}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Distanza tra punti · Equazione della retta · Parabola · Piano cartesiano · Retta · Vertice
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico