Parabola da fuoco e direttrice

Esempio — Parabola dalla definizione di luogo

Scrivere l’equazione della parabola di fuoco $F(0;0)$ e direttrice $d:\ y = -4$, e verificare che corrisponde alla forma $y = ax^2 + bx + c$ attesa.

Condizione di luogo: per un punto generico $P(x;y)$, $d(P, F) = d(P, d) \implies \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{|y + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |y+4|.$ Entrambi i membri sono $\ge 0$ (il primo è una distanza, il secondo un valore assoluto): elevamento al quadrato diretto. $x^2 + y^2 = (y+4)^2 = y^2 + 8y + 16 \implies x^2 = 8y + 16 \implies y = \tfrac{x^2}{8} - 2.$ È effettivamente una parabola $y = ax^2 + bx + c$ con $a = \tfrac{1}{8}$, $b = 0$, $c = -2$.

Vertice: $V(0;-2)$, come ci si aspetta geometricamente (il punto della parabola più vicino alla direttrice, a metà strada tra $F$ e $d$).

La parabola $y = \tfrac{x^2}{8} - 2$ con fuoco $F$, vertice $V$ e direttrice $d$: per ogni punto $P$ le due distanze $d(P,F)$ e $d(P,d)$ sono uguali.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Direttrice · Distanza punto retta · Fuoco · Parabola · Retta · Vertice
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni · Tracciare grafico