Applicazione — rette a distanza assegnata

Una disequazione (o equazione) irrazionale del tipo “scorciatoia” compare molto spesso quando si traduce in formule una condizione geometrica di distanza. Vediamo un esempio tipico che rincontreremo nel capitolo sui fasci di rette.

Esempio — Trova le rette per $P$ a distanza fissata da $Q$

Determina le rette passanti per $P(2;4)$ che distano $3$ dal punto $Q(-2;4)$.

Impostazione. Una retta per $P$ ha equazione $y-4=m(x-2)$, cioè in forma implicita $mx - y - 2m + 4 = 0$. La distanza di $Q(-2;4)$ da essa è: $d(Q,r) = \frac{|m(-2) - 4 - 2m + 4|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{|-4m|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}}.$

Equazione. $d(Q,r)=3$ diventa $\frac{4|m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3 \iff 4|m| = 3\sqrt{m^2+1}.$

Siamo in un caso “scorciatoia”: primo membro $|A|$, secondo membro un multiplo positivo di $\sqrt{B}$, entrambi $\ge 0$. Eleviamo direttamente al quadrato senza sdoppiamenti di segno (il $|m|^2=m^2$ fa sparire il valore assoluto): $16 m^2 = 9(m^2+1) \iff 7m^2 = 9 \iff m^2 = \tfrac{9}{7} \iff m = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}.$

Il caso escluso: retta verticale. La parametrizzazione $y-4=m(x-2)$ non include le rette verticali. Controlliamo a parte: la retta $x=2$ dista $|-2-2|=4$ da $Q$, e $4\ne 3$, quindi non è una soluzione.

Soluzione: esistono esattamente due rette, $\boxed{\,y-4 = \pm\tfrac{3}{\sqrt{7}}(x-2)\,}$.

Osservazione — Perché non abbiamo avuto bisogno di sdoppiare

Se avessimo ignorato la struttura e trattato $4|m| = 3\sqrt{m^2+1}$ come “una radice da isolare”, avremmo aggiunto le condizioni $4|m|\ge 0$ (sempre vera) e $3\sqrt{m^2+1}\ge 0$ (sempre vera). Nessuna di queste restringe il dominio: è il riconoscere la struttura “entrambi i membri sempre $\ge 0$” che ci dice, prima ancora di calcolare, che tali condizioni saranno inutili.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Disequazione irrazionale · Distanza punto retta · Fascio di rette · Retta · Valore assoluto
Metodi: Elevamento al quadrato · Scorciatoia membri non negativi
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