Equazioni e disequazioni miste con radicali e moduli

Testo

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni:

• (a) $\sqrt{2x+5}=x-4$
• (b) $\sqrt{1+2x^2}\ge x-3$
• (c) $5\sqrt{1+x}\le 5+9x$
• (d) $\sqrt{2x-1}\ge \sqrt{12-x}$
• (e) $\dfrac{-1+2x-\sqrt{x^{2}-4}}{-3+x+\sqrt{x+5}}\le0$
• (f) $\dfrac{(-x^2-x-1)(x^2+2x+1)}{(x+2)^2(x-4)}\le 0$
• (g) $|x-3|-x+4=0$

Soluzione

(a) Serve $x\ge4$; quadrando $2x+5=x^2-8x+16\Rightarrow x^2-10x+11=0\Rightarrow x=5\pm\sqrt{14}$. Accettabile solo $x=5+\sqrt{14}$.

(b) LHS sempre definito e $\ge0$; se $x<3$ vera; se $x\ge3$, $x^2+6x-8\ge0$ vera. Soluzione $\forall x\in\mathbb{R}$.

(c) CE $x\ge-1$, $9x+5\ge0$. Quadrando $81x^2+65x\ge0\Rightarrow x(81x+65)\ge0$; con le condizioni resta $x\ge0$.

(d) CE $x\ge\tfrac12$ e $x\le12$; quadrando $2x-1\ge12-x\Rightarrow x\ge\tfrac{13}{3}$. Soluzione $\tfrac{13}{3}\le x\le 12$.

(e) CE $x\le-2\vee x\ge2$ (e $x\ge-5$). Il numeratore $2x-1-\sqrt{x^2-4}$ è $>0$ per $x\ge2$ e $<0$ per $x\in[-5,-2]$; il denominatore è $>0$ per $x\ge2$ e $<0$ per $x\in[-5,-2]$. Il quoziente è sempre positivo sul dominio: nessuna soluzione.

(f) $-x^2-x-1<0$ e $(x+1)^2\ge0$, $(x+2)^2>0$: l’espressione è $\le0 \iff \dfrac{(x+1)^2}{x-4}\ge0$, cioè $x=-1$ oppure $x>4$.

(g) $|x-3|=x-4$ richiede $x\ge4$, dove $x-3=x-4$ è impossibile: nessuna soluzione.

$\boxed{\text{(a) } x{=}5{+}\sqrt{14};\ \text{(b) } \forall x;\ \text{(c) } x\ge0;\ \text{(d) } [\tfrac{13}{3},12];\ \text{(e) } \varnothing;\ \text{(f) } x{=}{-}1\vee x{>}4;\ \text{(g) } \varnothing}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Valore assoluto
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione