Torta triangolare tagliata in tre fette di area assegnata

Testo

La torta triangolare in figura ha $AB=6$, $AC=4$, $BC=7$. È stata tagliata in tre fette con tagli paralleli ad $AB$: $DE$ (vicino a $C$) e $FG$ (vicino ad $AB$), con $D,F$ su $AC$ ed $E,G$ su $BC$. Dentro ciascuna fetta è indicata la sua area, in $\mathrm{dm}^2$. Determina le lunghezze di $AF$, $FD$, $CD$, $CE$, $EG$, $GB$.

Soluzione

Le fette hanno aree $1,5,2$, quindi l’intero triangolo $ABC$ ha area $1+5+2=8$. I tagli sono paralleli ad $AB$: i triangoli con vertice $C$ sono simili ad $ABC$.

• Triangolo $CDE$ (sopra $DE$): area $1$, quindi $\dfrac{CDE}{CAB}=\dfrac18$ e il rapporto lineare è $\dfrac{CD}{CA}=\sqrt{\tfrac18}=\dfrac{1}{2\sqrt2}$.
• Triangolo $CFG$ (sopra $FG$): area $1+5=6$, quindi $\dfrac{CFG}{CAB}=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$ e $\dfrac{CF}{CA}=\sqrt{\tfrac34}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Su $AC$ ($CA=4$): $\;CD=\dfrac{4}{2\sqrt2}=\sqrt2\approx1{,}41$; $\;CF=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Quindi $FD=CF-CD=2\sqrt3-\sqrt2\approx2{,}05,\qquad AF=CA-CF=4-2\sqrt3\approx0{,}54.$ Su $BC$ ($CB=7$): con gli stessi rapporti $\;CE=\dfrac{7}{2\sqrt2}=\dfrac{7\sqrt2}{4}\approx2{,}48$; $\;CG=7\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{7\sqrt3}{2}\approx6{,}06$. Quindi $EG=CG-CE=\frac{7(2\sqrt3-\sqrt2)}{4}\approx3{,}59,\qquad GB=CB-CG=\frac{7(2-\sqrt3)}{2}\approx0{,}94.$ $\boxed{CD=\sqrt2,\ FD=2\sqrt3-\sqrt2,\ AF=4-2\sqrt3,\ CE=\tfrac{7\sqrt2}{4},\ EG=\tfrac{7(2\sqrt3-\sqrt2)}{4},\ GB=\tfrac{7(2-\sqrt3)}{2}.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Rapporto di similitudine · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico