Lati del triangolo dalla bisettrice

Testo

In un triangolo $A\hat{C}B$, rettangolo in $\hat{C}$, traccia la bisettrice dell’angolo $\hat{A}$, che interseca il cateto $BC$ in $K$. Sai che $\overline{BK}=3$ e $\overline{KC}=2$. Determina tutti i lati del triangolo.

Soluzione

Il cateto $BC=BK+KC=3+2=5$. Per il teorema della bisettrice la bisettrice di $\hat A$ divide il lato opposto $BC$ in parti proporzionali ai lati adiacenti: $\frac{\overline{BK}}{\overline{KC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac32.$ Pongo $\overline{AC}=2k$ e $\overline{AB}=3k$. Poiché il triangolo è rettangolo in $C$, per Pitagora $\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2$: $(3k)^2=(2k)^2+5^2\ \Longrightarrow\ 9k^2=4k^2+25\ \Longrightarrow\ 5k^2=25\ \Longrightarrow\ k=\sqrt5.$ Quindi $\boxed{\overline{BC}=5,\qquad \overline{AC}=2\sqrt5\approx4{,}47,\qquad \overline{AB}=3\sqrt5\approx6{,}71.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Teorema della bisettrice · Teorema di pitagora · Triangolo rettangolo
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico