Teorema della bisettrice e teorema dei punti medi

Testo

• (a) Enuncia e dimostra il teorema della bisettrice (detto ”di Spinardi”): la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
• (b) Dimostra che, congiungendo i punti medi di due lati di un triangolo, si ottiene un segmento parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.

Soluzione

(a) Teorema della bisettrice. Nel triangolo $ABC$ la bisettrice di $\hat A$ incontra $BC$ in $D$; tesi: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$. Dimostrazione. Traccio da $C$ la parallela alla bisettrice $AD$, che incontra la retta $AB$ in $E$. Poiché $AD\parallel CE$:

• $\widehat{BAD}\cong\widehat{AEC}$ (corrispondenti) e $\widehat{DAC}\cong\widehat{ACE}$ (alterni interni).

Ma $\widehat{BAD}\cong\widehat{DAC}$ (è la bisettrice), quindi $\widehat{AEC}\cong\widehat{ACE}$: il triangolo $ACE$ è isoscele con $AE\cong AC$. Applicando il teorema di Talete al fascio $AD\parallel CE$ tagliato da $BE$ e $BC$: $\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE}=\frac{AB}{AC}.\qquad\blacksquare$

(b) Teorema dei punti medi. Siano $M,N$ i punti medi di $AB$ e $AC$; tesi: $MN\parallel BC$ e $MN=\dfrac12 BC$. Dimostrazione. I triangoli $AMN$ e $ABC$ hanno l’angolo $\hat A$ in comune e i lati che lo comprendono in proporzione: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12.$ Per il secondo criterio di similitudine $AMN\sim ABC$ con rapporto $\dfrac12$. Dalla similitudine segue $\widehat{AMN}\cong\widehat{ABC}$ (dunque $MN\parallel BC$) e $MN=\frac12\,BC.\qquad\blacksquare$ $\boxed{\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC};\qquad MN\parallel BC,\ MN=\tfrac12 BC.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Piano cartesiano · Punto medio · Teorema della bisettrice · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema