Parallela per il baricentro e rapporto delle aree

Testo

Nel triangolo $A\hat{B}C$, $G$ è il baricentro. Traccia da $G$ la retta parallela ad $AB$, che interseca il lato $AC$ in $K$ e il lato $BC$ in $L$. Dimostra che l’area del triangolo $K\hat{C}L$ è $\dfrac49$ dell’area di $A\hat{B}C$.

Soluzione

Sia $h$ la distanza di $C$ dalla base $AB$ (l’altezza relativa ad $AB$). Il baricentro $G$ divide ogni mediana in rapporto $2:1$ a partire dal vertice; in particolare $G$ dista dalla base $AB$ esattamente $\dfrac{h}{3}$. Dunque $G$ dista da $C$ $h-\frac{h}{3}=\frac{2}{3}h.$ La retta $KL$ passa per $G$ ed è parallela ad $AB$: il triangolo $K\hat{C}L$ è simile ad $A\hat{B}C$ (angolo $\hat C$ comune, $KL\parallel AB$ dà angoli corrispondenti congruenti). Il rapporto di similitudine è il rapporto delle altezze da $C$: $k=\frac{\text{altezza di }KCL}{\text{altezza di }ABC}=\frac{\tfrac23 h}{h}=\frac23.$ Le aree stanno come il quadrato del rapporto di similitudine: $\frac{[KCL]}{[ABC]}=k^2=\left(\frac23\right)^2=\boxed{\frac49.}\qquad\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Baricentro · Rapporto di similitudine · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione