Teorema di Talete sul fascio di rette tagliato da parallele

Testo

Due rette uscenti da uno stesso punto $V$ vengono tagliate da due rette parallele. Enuncia e dimostra il teorema di Talete: i segmenti staccati sulle due rette sono proporzionali. Verifica poi la proporzione su un caso numerico.

Soluzione

Enunciato. Dal punto $V$ escono due rette; una prima parallela le incontra in $A$ e $B$, una seconda parallela (dalla stessa parte) le incontra in $C$ e $D$ (con $A,C$ sulla prima retta e $B,D$ sulla seconda). Allora $\frac{\overline{VA}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{VB}}{\overline{BD}}.$

Dimostrazione. Considero i triangoli $VAB$ e $VCD$. Essi hanno l’angolo $\hat V$ in comune; inoltre, essendo $AB\parallel CD$, l’angolo $\widehat{VAB}\cong\widehat{VCD}$ (corrispondenti). Per il primo criterio di similitudine $VAB\sim VCD$, quindi i lati omologhi sono in proporzione: $\frac{\overline{VA}}{\overline{VC}}=\frac{\overline{VB}}{\overline{VD}}.$ Applicando la proprietà dello scomporre alle due frazioni uguali (sottraggo $1$ da ciascun membro dopo aver riscritto $\overline{VC}=\overline{VA}+\overline{AC}$ e $\overline{VD}=\overline{VB}+\overline{BD}$) si ottiene in modo equivalente $\frac{\overline{VA}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{VB}}{\overline{BD}}.\qquad\blacksquare$

Verifica numerica. Siano $\overline{VA}=6$, $\overline{AC}=9$ e $\overline{VB}=8$; calcolo $\overline{BD}$: $\frac{\overline{VA}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{VB}}{\overline{BD}}\ \Longrightarrow\ \overline{BD}=\frac{\overline{VB}\cdot\overline{AC}}{\overline{VA}}=\frac{8\cdot 9}{6}=12.$ Controllo: $\dfrac{\overline{VA}}{\overline{AC}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{\overline{VB}}{\overline{BD}}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$: la proporzione è verificata. $\boxed{\overline{BD}=12.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Proporzione · Teorema di talete · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema