Proporzionalità di mediane, bisettrici e altezze in triangoli simili

Testo

Dimostra che in due triangoli simili le mediane, le bisettrici e le altezze corrispondenti stanno tra loro nello stesso rapporto dei lati omologhi.

Soluzione

Siano $ABC$ e $A'B'C'$ due triangoli simili con rapporto di similitudine $k=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{C'A'}}{\overline{CA}},$ e con angoli corrispondenti congruenti: $\hat A\cong\hat A'$, $\hat B\cong\hat B'$, $\hat C\cong\hat C'$.

Altezze. Siano $AH$ e $A'H'$ le altezze relative ai lati $BC$ e $B'C'$. I triangoli rettangoli $ABH$ e $A'B'H'$ hanno $\hat B\cong\hat B'$ e gli angoli retti in $H$ e $H'$: sono quindi simili (primo criterio). Perciò $\frac{\overline{A'H'}}{\overline{AH}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k.$

Bisettrici. Siano $AD$ e $A'D'$ le bisettrici degli angoli $\hat A$ e $\hat A'$. Poiché $\hat A\cong\hat A'$, le loro metà sono congruenti: $\widehat{BAD}\cong\widehat{B'A'D'}$. Allora i triangoli $ABD$ e $A'B'D'$ hanno $\hat B\cong\hat B'$ e $\widehat{BAD}\cong\widehat{B'A'D'}$, dunque sono simili e $\frac{\overline{A'D'}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k.$

Mediane. Siano $AM$ e $A'M'$ le mediane relative a $BC$ e $B'C'$, con $M$ e $M'$ punti medi. Allora $\frac{\overline{BM}}{\overline{B'M'}}=\frac{\tfrac12\overline{BC}}{\tfrac12\overline{B'C'}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}},$ e inoltre $\hat B\cong\hat B'$: i triangoli $ABM$ e $A'B'M'$ hanno l’angolo compreso congruente e i lati che lo comprendono in proporzione, quindi (secondo criterio) sono simili e $\frac{\overline{A'M'}}{\overline{AM}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=k.$

In tutti e tre i casi il rapporto tra i segmenti corrispondenti è uguale al rapporto $k$ dei lati omologhi. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Proporzione · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione