Enunciato e dimostrazione del teorema della bisettrice

Testo

Enuncia e dimostra il teorema della bisettrice interna: in un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due segmenti proporzionali agli altri due lati del triangolo.

Soluzione

Enunciato. Nel triangolo $RST$ la bisettrice dell’angolo $\hat R$ incontra il lato $ST$ nel punto $U$. Allora $\frac{\overline{SU}}{\overline{UT}}=\frac{\overline{RS}}{\overline{RT}}.$

Dimostrazione. Dal vertice $T$ conduco la retta parallela alla bisettrice $RU$; essa incontra il prolungamento del lato $SR$ in un punto $V$. Considero la trasversale $SV$ e la trasversale $ST$ tagliate dalle due parallele $RU$ e $TV$: per il teorema di Talete \frac{\overline{SU}}{\overline{UT}}=\frac{\overline{SR}}{\overline{RV}}. \tag{1} Resta da mostrare che $\overline{RV}=\overline{RT}$, cioè che il triangolo $RTV$ è isoscele sulla base $TV$. Poiché $RU\parallel TV$:

• $\widehat{SRU}\cong\widehat{RVT}$ (angoli corrispondenti),
• $\widehat{URT}\cong\widehat{RTV}$ (angoli alterni interni).

Ma $RU$ è la bisettrice di $\hat R$, quindi $\widehat{SRU}\cong\widehat{URT}$; ne segue $\widehat{RVT}\cong\widehat{RTV}$. Il triangolo $RTV$ ha due angoli alla base congruenti, dunque è isoscele e $\overline{RV}=\overline{RT}$. Sostituendo in $(1)$: $\frac{\overline{SU}}{\overline{UT}}=\frac{\overline{RS}}{\overline{RT}}.\qquad\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Proporzione · Teorema della bisettrice · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema