Corda parallela a un lato e triangolo simile

Testo

In un triangolo $PQR$ un punto $M$ è preso sul lato $PQ$ e da esso si conduce la corda $MN$ parallela al lato $QR$, con $N$ sul lato $PR$.

• (a) Dimostra che il triangolo $PMN$ è simile al triangolo $PQR$.
• (b) Sapendo che $\overline{PQ}=20$, $\overline{PR}=15$, $\overline{QR}=24$ e $\overline{PM}=8$, calcola $\overline{PN}$ e $\overline{MN}$.

Soluzione

(a) I triangoli $PMN$ e $PQR$ hanno l’angolo $\hat P$ in comune. Poiché $MN\parallel QR$, l’angolo $\widehat{PMN}\cong\widehat{PQR}$ (corrispondenti rispetto alla trasversale $PQ$). Avendo due angoli congruenti, per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili: $PMN\sim PQR.$

(b) Dalla similitudine i lati omologhi sono in proporzione con il rapporto $k=\frac{\overline{PM}}{\overline{PQ}}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.$ Perciò $\overline{PN}=k\cdot\overline{PR}=\frac{2}{5}\cdot 15=6,\qquad \overline{MN}=k\cdot\overline{QR}=\frac{2}{5}\cdot 24=\frac{48}{5}=9{,}6.$ $\boxed{\overline{PN}=6,\qquad \overline{MN}=9{,}6.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Proporzione · Teorema di talete · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico