Trapezio da perpendicolari in un triangolo equilatero

Testo

Dal piede $H$ dell’altezza $CH$ di un triangolo equilatero $A\hat{B}C$ di area $1$, manda la perpendicolare al lato $AC$, che lo incontra in $K$, e la perpendicolare a $BC$, che lo incontra in $R$. Determina perimetro e area del trapezio $ABRK$.

Soluzione

Sia $a$ il lato. Dall’area $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=1$ ricavo $a^2=\dfrac{4}{\sqrt3}$, cioè $a=\dfrac{2}{\sqrt[4]{3}}\approx1{,}520$. $H$ è il punto medio di $AB$, quindi $AH=\dfrac a2$. Nel triangolo rettangolo $AHK$ (retto in $K$) l’angolo in $A$ vale $60^\circ$: $AK=AH\cos 60^\circ=\frac a2\cdot\frac12=\frac a4,\qquad HK=AH\sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{4}.$ Per simmetria $BR=\dfrac a4$ e $HR=\dfrac{a\sqrt3}{4}$; inoltre $K$ ed $R$ sono alla stessa quota, con $KR\parallel AB$ e (per similitudine sui triangolini) $KR=\dfrac{3a}{4}$. Perimetro di $ABRK$: $\;AB+BR+RK+KA=a+\dfrac a4+\dfrac{3a}{4}+\dfrac a4=\dfrac{9a}{4}\approx3{,}42$. Area. Il trapezio ha basi $AB=a$ e $KR=\dfrac{3a}{4}$, altezza $\dfrac{a\sqrt3}{4}$: $\mathcal A=\frac12\!\left(a+\frac{3a}{4}\right)\frac{a\sqrt3}{4}=\frac{7\sqrt3}{64}a^2=\frac{7\sqrt3}{64}\cdot\frac{4}{\sqrt3}=\frac{7}{16}=0{,}4375.$ $\boxed{\mathcal A_{ABRK}=\frac{7}{16}=0{,}4375,\qquad 2p_{ABRK}=\frac{9a}{4}\approx3{,}42.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Perimetro · Trapezio · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico