Dimostrazione dei teoremi di Euclide

L’altezza $CH$ relativa all’ipotenusa divide il triangolo rettangolo $ABC$ in due triangoli più piccoli. Mostriamo che questi sono simili tra loro: è da questa similitudine che discendono i teoremi di Euclide.

L’altezza $CH$ divide il triangolo rettangolo $ABC$ nei due triangoli $ACH$ e $BHC$.

Dimostrazione — Secondo teorema di Euclide

Confrontiamo i triangoli $ACH$ e $BHC$. Essi hanno:

• $\widehat{AHC} \cong \widehat{BHC} = 90^\circ$ (angoli retti);
• $\widehat{ACH} \cong \widehat{BCH}$ (angoli complementari dello stesso angolo).

Per il I criterio di similitudine (due angoli congruenti), i due triangoli sono simili.

Dalla similitudine, i lati omologhi sono in proporzione: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}.$ ∎

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Criteri di similitudine · Teoremi di euclide · Triangoli simili · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Euclide