Somma dei quadrati delle distanze da un punto sulla diagonale

Testo

Sia $ABCD$ un quadrato. Prolunga la diagonale $AC$, dalla parte di $A$, di un segmento $AP$ di misura $2$. Determina la misura del lato del quadrato in modo che $PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=20.$

Soluzione

Pongo $A(0;0)$, $B(\ell;0)$, $C(\ell;\ell)$, $D(0;\ell)$, con $\ell$ lato. La diagonale $AC$ ha direzione $(1;1)/\sqrt2$; $P$ è oltre $A$, dalla parte opposta a $C$, a distanza $2$: $P=\left(-\sqrt2;\,-\sqrt2\right)$. Calcolo i quattro quadrati: $PA^2=2,\quad PB^2=(\ell+\sqrt2)^2+2,\quad PD^2=2+(\ell+\sqrt2)^2,\quad PC^2=(2+\ell\sqrt2)^2.$ Sommo: $PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=16+4\ell^2+8\sqrt2\,\ell.$ Imponendo $=20$: $4\ell^2+8\sqrt2\,\ell-4=0\ \Longrightarrow\ \ell^2+2\sqrt2\,\ell-1=0\ \Longrightarrow\ \ell=-\sqrt2+\sqrt{2+1}=\sqrt3-\sqrt2.$ (si scarta la radice negativa). Quindi $\boxed{\ell=\sqrt3-\sqrt2\approx0{,}318.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Diagonale · Quadrato · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico