Cateto e altezza frazione dell'ipotenusa

Testo

In un triangolo $A\hat{C}B$, rettangolo in $\hat{C}$, il cateto $\overline{AC}$ vale $3$, mentre l’altezza relativa all’ipotenusa è un quarto dell’ipotenusa. Determina tutti i lati del triangolo.

Soluzione

Poniamo $\overline{BC}=b$ e $\overline{AB}=c=\sqrt{9+b^2}$. L’altezza relativa all’ipotenusa è $\overline{CH}=\dfrac{\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{3b}{c}$. La condizione $\overline{CH}=\dfrac14 c$ dà $\frac{3b}{c}=\frac{c}{4}\ \Longrightarrow\ 12b=c^2=9+b^2\ \Longrightarrow\ b^2-12b+9=0.$ Risolvo: $b=\frac{12\pm\sqrt{144-36}}{2}=\frac{12\pm\sqrt{108}}{2}=6\pm3\sqrt3.$ Entrambe le radici sono positive: il problema ha due soluzioni.

• $\overline{BC}=6-3\sqrt3\approx0{,}80$, da cui $\overline{AB}=\sqrt{9+b^2}=6\sqrt{2-\sqrt3}\approx3{,}11$;
• $\overline{BC}=6+3\sqrt3\approx11{,}20$, da cui $\overline{AB}=6\sqrt{2+\sqrt3}\approx11{,}59$.

$\boxed{\overline{BC}=6\pm3\sqrt3,\quad \overline{AB}=6\sqrt{2\pm\sqrt3}\ \ (\overline{AC}=3).}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Teorema di pitagora · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico