Cateti da altezza e rapporto tra i cateti

Testo

In un triangolo $A\hat{C}B$, rettangolo in $\hat{C}$, l’altezza $\overline{CH}$ relativa all’ipotenusa vale $2$. Inoltre uno dei cateti è $\dfrac43$ dell’altro. Determina tutti i lati del triangolo.

Soluzione

Siano i cateti $\overline{BC}=b$ e $\overline{AC}=\dfrac43 b$. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa è $\overline{AB}=\sqrt{b^2+\tfrac{16}{9}b^2}=\sqrt{\tfrac{25}{9}b^2}=\frac53 b.$ L’altezza relativa all’ipotenusa si ottiene dall’area (doppio calcolo): $\;\overline{CH}=\dfrac{\overline{AC}\cdot\overline{BC}}{\overline{AB}}$: $2=\frac{\frac43 b\cdot b}{\frac53 b}=\frac{\frac43 b^2}{\frac53 b}=\frac45\,b\ \Longrightarrow\ b=\frac{5}{2}=2{,}5.$ Quindi $\overline{BC}=2{,}5,\qquad \overline{AC}=\frac43\cdot\frac52=\frac{10}{3}\approx3{,}33,\qquad \overline{AB}=\frac53\cdot\frac52=\frac{25}{6}\approx4{,}17.$ $\boxed{\overline{BC}=\tfrac52,\quad \overline{AC}=\tfrac{10}{3},\quad \overline{AB}=\tfrac{25}{6}.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Teorema di pitagora · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico