Quadrato dell'altezza nel triangolo equilatero

Testo

Sia $ABC$ un triangolo equilatero di lato $\ell$ e sia $h$ la sua altezza.

• (a) Dimostra che il quadrato dell’altezza è il triplo del quadrato della metà del lato, cioè $h^2=3\left(\dfrac{\ell}{2}\right)^2$.
• (b) Posto $\ell=10$, calcola l’altezza $h$.

Soluzione

(a) Dimostrazione. In un triangolo equilatero l’altezza $AH$ relativa alla base $BC$ cade nel punto medio $H$ di $BC$, quindi $\overline{BH}=\dfrac{\ell}{2}$. Il triangolo $ABH$ è rettangolo in $H$, con ipotenusa $\overline{AB}=\ell$ e cateti $\overline{AH}=h$ e $\overline{BH}=\dfrac{\ell}{2}$. Per il teorema di Pitagora: $h^2=\ell^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)^2=\ell^2-\frac{\ell^2}{4}=\frac{3\ell^2}{4}=3\left(\frac{\ell}{2}\right)^2.$ Il quadrato dell’altezza è dunque il triplo del quadrato di mezzo lato. $\;\blacksquare$

(b) Calcolo numerico. Con $\ell=10$ si ha $\dfrac{\ell}{2}=5$, quindi $h=\sqrt{3\cdot 5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt3\approx 8{,}660.$ $\boxed{h=5\sqrt3\approx 8{,}660}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Teorema di pitagora · Triangolo equilatero
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico