Rettangolo dei cateti e rettangolo di ipotenusa e altezza

Testo

Sia $KLM$ un triangolo rettangolo con l’angolo retto in $L$, e sia $h$ l’altezza relativa all’ipotenusa $KM$.

• (a) Dimostra che il rettangolo avente per dimensioni i due cateti $LK$ e $LM$ è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa $KM$ e l’altezza $h$.
• (b) Sapendo che $\overline{LK}=9$ e $\overline{LM}=12$, calcola l’ipotenusa $\overline{KM}$ e l’altezza $h$.

Soluzione

(a) Dimostrazione. L’area del triangolo $KLM$ si può esprimere in due modi. Prendendo come base e altezza i due cateti (perpendicolari fra loro): $\mathcal{A}=\frac{\overline{LK}\cdot\overline{LM}}{2}.$ Prendendo invece come base l’ipotenusa $KM$ e come altezza il segmento $h$ ad essa relativo: $\mathcal{A}=\frac{\overline{KM}\cdot h}{2}.$ Uguagliando le due espressioni: $\overline{LK}\cdot\overline{LM}=\overline{KM}\cdot h.$ Il rettangolo dei cateti e il rettangolo di ipotenusa e altezza hanno dunque la stessa area: sono equivalenti. $\;\blacksquare$

(b) Calcolo numerico. Per il teorema di Pitagora: $\overline{KM}=\sqrt{\overline{LK}^2+\overline{LM}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.$ Dalla relazione dimostrata al punto (a): $h=\frac{\overline{LK}\cdot\overline{LM}}{\overline{KM}}=\frac{9\cdot 12}{15}=\frac{108}{15}=7{,}2.$ $\boxed{\overline{KM}=15,\qquad h=7{,}2}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Cateto · Teorema di euclide · Teorema di pitagora
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico