Lati del triangolo da una proiezione e area di un quadrato

Testo

Un triangolo rettangolo $A\hat{C}B$, rettangolo in $\hat{C}$, ha l’altezza relativa all’ipotenusa $CH$ che divide l’ipotenusa $AB$ in due parti; si conosce $\overline{HB}=3$. Determina le lunghezze dei cateti e dell’ipotenusa che rendono l’area del quadrato costruito sul cateto $BC$ pari a $12$.

Soluzione

Il quadrato su $BC$ ha area $\overline{BC}^2=12$. Per il primo teorema di Euclide applicato al cateto $BC$ (di proiezione $HB$ sull’ipotenusa): $\overline{BC}^2=\overline{AB}\cdot\overline{HB}\ \Longrightarrow\ 12=\overline{AB}\cdot3\ \Longrightarrow\ \overline{AB}=4.$ Allora $\overline{AH}=\overline{AB}-\overline{HB}=4-3=1$. Ancora col primo teorema di Euclide, per il cateto $AC$: $\overline{AC}^2=\overline{AB}\cdot\overline{AH}=4\cdot1=4\ \Longrightarrow\ \overline{AC}=2.$ Per il secondo teorema di Euclide l’altezza: $\overline{CH}^2=\overline{AH}\cdot\overline{HB}=1\cdot3=3\Rightarrow \overline{CH}=\sqrt3$. Infine $\overline{BC}=\sqrt{12}=2\sqrt3$. $\boxed{\overline{BC}=2\sqrt3\approx3{,}46,\quad \overline{AC}=2,\quad \overline{AB}=4,\quad \overline{CH}=\sqrt3\approx1{,}73.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Proiezione · Teorema di pitagora · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico