Parallelogramma dentro un rettangolo

Testo

Nella figura $ABCD$ è un rettangolo di lati $8$ e $5$; le due rette oblique escono da $D$ e da $B$ con inclinazione di $45^\circ$. La figura scura è un parallelogramma. Determina area, perimetro e lunghezza delle diagonali del parallelogramma.

Soluzione

Metto le coordinate: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;5)$, $D(0;5)$. Le due rette a $45^\circ$ sono $D(0;5)\to(5;0)$ e $B(8;0)\to(3;5)$, entrambe di pendenza $-1$: sono parallele. I segmenti verticali le raccordano. I vertici del parallelogramma sono $P_1(3;2),\quad P_2(3;5),\quad P_3(5;3),\quad P_4(5;0).$ Lati. $\vec{P_1P_2}=(0;3)$ di lunghezza $3$; $\vec{P_2P_3}=(2;-2)$ di lunghezza $2\sqrt2$. Perimetro $2p=2\left(3+2\sqrt2\right)=6+4\sqrt2\approx11{,}66.$ Area (modulo del prodotto vettoriale dei lati uscenti da $P_1$, cioè $(0;3)$ e $(2;-2)$): $\mathcal A=\bigl|0\cdot(-2)-3\cdot2\bigr|=6.$ Diagonali. $\vec{P_1P_3}=(2;1)\Rightarrow d_1=\sqrt5\approx2{,}24$; $\ \vec{P_2P_4}=(2;-5)\Rightarrow d_2=\sqrt{29}\approx5{,}39$. $\boxed{\mathcal A=6,\quad 2p=6+4\sqrt2\approx11{,}66,\quad d_1=\sqrt5,\quad d_2=\sqrt{29}.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Parallelogramma · Perimetro · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria analitica · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico