Radicali ed equazioni irrazionali

I radicali estendono il concetto di potenza: scrivere $\sqrt[n]{a}$ equivale a scrivere $a^{1/n}$, e questa equivalenza permette di applicare tutte le regole delle potenze anche alle radici. Il capitolo introduce la struttura di un radicale con le sue condizioni di esistenza, le operazioni fra radicali e le tecniche per manipolarli (portare fuori dal segno di radice, ridurre allo stesso indice, razionalizzare il denominatore). Da qui si passa alle equazioni irrazionali, dove l’incognita compare sotto radice e l’elevamento al quadrato può introdurre soluzioni estranee, e alle disequazioni con radice quadrata, ricondotte a due schemi fondamentali. Chiudono il capitolo un rimando alla probabilità (trattata in Classe Quarta) e un’introduzione alla regressione lineare con il metodo dei minimi quadrati.

Sezioni

• Radicali e potenze con esponente frazionario
• Razionalizzazione del denominatore
• Equazioni irrazionali
• Disequazioni con radice quadrata
• Regressione lineare
• Probabilità (rimando alla classe Quarta)

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

Surds extend the notion of a power: writing $\sqrt[n]{a}$ is the same as writing $a^{1/n}$, and this equivalence lets us apply all the rules of powers to roots as well. The chapter introduces the structure of a surd together with its existence conditions, the operations between surds and the techniques for manipulating them (taking factors out of the radical sign, reducing to the same index, rationalising the denominator). From here we move on to irrational equations, where the unknown appears under a root and squaring can introduce extraneous solutions, and to inequalities with a square root, reduced to two fundamental schemes. The chapter closes with a reference to probability (covered in the fourth year) and an introduction to linear regression by the method of least squares.

Sections

• Surds and powers with a fractional exponent
• Rationalising the denominator
• Irrational equations
• Inequalities with a square root
• Linear regression
• Probability (reference to the fourth year)

Exercises

• All the chapter’s exercises

Osservazione — Nota di organizzazione del libro

In edizioni precedenti del corso la probabilità veniva introdotta già in Seconda con una sezione dedicata (definizione di evento, eventi incompatibili e indipendenti, probabilità condizionata, tabelle di contingenza, test diagnostici). A partire dall’edizione corrente la trattazione è stata spostata e unificata nel capitolo Probabilità avanzata (Classe Quarta), dove tutto il materiale è presentato in modo sistematico e organico (assiomi di Kolmogorov, teoremi di probabilità totale e di Bayes, alberi, distribuzione binomiale, valore atteso).

Cosa avresti dovuto sapere già in Seconda (e che ora trovi sviluppato in Quarta):

• definizione classica $P(E)=\#\text{favorevoli}/\#\text{possibili}$;
• complementare $P(\overline{A})=1-P(A)$;
• unione $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;
• eventi incompatibili (mutuamente esclusivi) vs indipendenti;
• probabilità condizionata $P(A\mid B)$;
• rappresentazione con diagrammi di Venn a quattro regioni e tabelle di contingenza;
• test diagnostici: sensibilità, specificità, precisione.

Collegamenti

Argomenti: Radicali
Concetti: Probabilita

Remark — Note on the book's organisation

In earlier editions of the course, probability was already introduced in the second year with a dedicated section (definition of an event, incompatible and independent events, conditional probability, contingency tables, diagnostic tests). From the current edition onwards, the treatment has been moved and unified into the chapter Advanced probability (fourth year), where all the material is presented in a systematic and organic way (Kolmogorov’s axioms, the theorems of total probability and of Bayes, trees, the binomial distribution, expected value).

What you should already have known in the second year (and now find developed in the fourth year):

• the classical definition $P(E)=\#\text{favourable}/\#\text{possible}$;
• the complement $P(\overline{A})=1-P(A)$;
• the union $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$;
• incompatible (mutually exclusive) events vs independent events;
• conditional probability $P(A\mid B)$;
• representation with four-region Venn diagrams and contingency tables;
• diagnostic tests: sensitivity, specificity, precision.

Links

Topics: Radicals
Concepts: Probability