Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (II)

Testo

Data la parabola $y=x^2+2x-3$:

• (a) trovane il vertice e le intersezioni con gli assi;
• (b) disegnala;
• (c) trovane le intersezioni con la retta Pina, che passa per $A(1;2)$ e $B(2;-3)$;
• (d) trova la retta Gina perpendicolare a Pina e passante per $A$;
• (e) trova la distanza tra $B$ e Pina.

Soluzione

(a) Vertice: $x_V=-1$, $y_V=1-2-3=-4$, cioè $V(-1;-4)$. $\cap x$: $(x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=-3,\,1$; $\cap y$: $(0;-3)$. (c) Pina per $A(1;2)$ e $B(2;-3)$: pendenza $\dfrac{-3-2}{2-1}=-5$, quindi $y=-5x+7$. Intersezioni con la parabola: $x^2+2x-3=-5x+7\Rightarrow x^2+7x-10=0\Rightarrow x=\dfrac{-7\pm\sqrt{89}}{2}\approx1{,}22\ \text{e}\ -8{,}22$. (d) Pina ha pendenza $-5$; Gina (perpendicolare) ha pendenza $\dfrac15$ e passa per $A(1;2)$: $y-2=\dfrac15(x-1)\Rightarrow y=\dfrac15 x+\dfrac95$. (e) Pina passa per $B$, quindi la distanza di $B$ da Pina è $d=\frac{|{-5}\cdot2-(-3)+7|}{\sqrt{(-5)^2+1^2}}=\frac{|-10+3+7|}{\sqrt{26}}=0.$ $\boxed{V(-1;-4);\ \text{Gina}: y=\tfrac15 x+\tfrac95;\ d(B,\text{Pina})=0\ (B\in\text{Pina}).}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Distanza punto retta · Equazione della retta · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico