Parabola, retta secante, perpendicolare e distanza (I)

Testo

Data la parabola $y=x^2+5x+6$:

• (a) trovane il vertice e le intersezioni con gli assi;
• (b) disegnala;
• (c) trovane le intersezioni con la retta che passa per $A(2;2)$ e $B(4;-3)$;
• (d) trova la retta Gina perpendicolare alla retta Pina $y=-2x+3$, passante per $A$;
• (e) trova la distanza tra $B$ e Pina.

Soluzione

(a) Vertice: $x_V=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5$, $y_V=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25$, cioè $V(-2{,}5;-0{,}25)$. $\cap x$: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)=0\Rightarrow x=-2,\,-3$; $\cap y$: $(0;6)$. (c) Retta $AB$: pendenza $\dfrac{-3-2}{4-2}=-\dfrac52$, quindi $y=-\dfrac52 x+7$. Intersezioni: $x^2+5x+6=-\dfrac52 x+7\Rightarrow 2x^2+15x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{-15\pm\sqrt{241}}{4}\approx0{,}13\ \text{e}\ -7{,}63$. (d) Pina ha pendenza $-2$; la perpendicolare Gina ha pendenza $\dfrac12$ e passa per $A(2;2)$: $y-2=\dfrac12(x-2)\Rightarrow y=\dfrac12 x+1$. (e) Pina: $2x+y-3=0$. Distanza di $B(4;-3)$: $d=\frac{|2\cdot4+(-3)-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|2|}{\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}\approx0{,}89.$ $\boxed{V(-2{,}5;-0{,}25);\ \text{Gina}: y=\tfrac12 x+1;\ d(B,\text{Pina})=\tfrac{2\sqrt5}{5}\approx0{,}89.}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Distanza punto retta · Equazione della retta · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico