Parabola come prodotto di due rette

Testo

Date le rette Agnese $\left(y=-\dfrac{x}{2}+2\right)$ e Lucia $\left(y=\dfrac{x}{3}-1\right)$, e la parabola Gertrude ottenuta uguagliando $y$ al prodotto dei secondi membri: $y=\left(-\dfrac{x}{2}+2\right)\left(\dfrac{x}{3}-1\right)$.

• (a) disegna Agnese e Lucia, determina le loro intersezioni con gli assi e il vertice di Gertrude;
• (b) determina l’intersezione tra Agnese e Lucia;
• (c) determina le intersezioni tra Gertrude e ciascuna retta. Cosa noti?
• (d) determina l’equazione di una parabola che abbia le stesse intersezioni con l’asse $x$ di Gertrude e passi per l’intersezione tra Agnese e Lucia.

Soluzione

Sviluppo Gertrude: $y=\left(-\dfrac x2+2\right)\left(\dfrac x3-1\right)=-\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{7x}{6}-2$. (a) Agnese $\cap x$: $(4;0)$, $\cap y$: $(0;2)$. Lucia $\cap x$: $(3;0)$, $\cap y$: $(0;-1)$. Vertice di Gertrude: $x_V=-\dfrac{7/6}{2\cdot(-1/6)}=\dfrac72$, $y_V=\left(-\dfrac74+2\right)\left(\dfrac{7}{6}-1\right)=\dfrac14\cdot\dfrac16=\dfrac{1}{24}\approx0{,}042$. Quindi $V\!\left(\dfrac72;\dfrac{1}{24}\right)$. (b) $-\dfrac x2+2=\dfrac x3-1\Rightarrow 3=\dfrac{5x}{6}\Rightarrow x=\dfrac{18}{5}$, $y=\dfrac15$: punto $\left(\dfrac{18}{5};\dfrac15\right)$. (c) Gertrude$\cap$Agnese: $\left(-\dfrac x2+2\right)\left(\dfrac x3-1\right)=-\dfrac x2+2\Rightarrow\left(-\dfrac x2+2\right)\left(\dfrac x3-2\right)=0\Rightarrow x=4$ oppure $x=6$: punti $(4;0)$ e $(6;-1)$. Analogamente Gertrude$\cap$Lucia: $x=3$ o $x=2$: punti $(3;0)$ e $\left(2;-\dfrac13\right)$. Osservazione: Gertrude interseca ciascuna retta nel punto in cui quella retta taglia l’asse $x$ (perché $\text{Gertrude}=\text{Agnese}\cdot\text{Lucia}$ si annulla dove si annulla un fattore): gli zeri di Gertrude sono $x=4$ e $x=3$. (d) Parabola con zeri $x=4,\,x=3$: $y=k(x-4)(x-3)$, passante per $\left(\dfrac{18}{5};\dfrac15\right)$: $\dfrac15=k\left(-\dfrac25\right)\left(\dfrac35\right)=-\dfrac{6}{25}k\Rightarrow k=-\dfrac56$. $\boxed{y=-\frac56(x-4)(x-3);\qquad V_\text{Gertrude}\!\left(\tfrac72;\tfrac{1}{24}\right);\qquad \text{Agnese}\cap\text{Lucia}=\left(\tfrac{18}{5};\tfrac15\right).}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della retta · Fattorizzazione · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico