Parabola e retta, intersezioni e posizione reciproca

Testo

Date la parabola Gina $\left(y=-\dfrac{x^2}{4}+2x+5\right)$ e la retta Lina $\left(y=2x-4\right)$:

• (a) disegna i grafici e determina le loro intersezioni con gli assi e il vertice di Gina;
• (b) determina graficamente i punti di intersezione tra Gina e Lina;
• (c) determinali con calcoli algebrici;
• (d) trova per quali $x$ i punti di Gina si trovano sopra quelli di Lina.

Soluzione

(a) Gina. Vertice: $x_V=-\dfrac{2}{2\cdot(-1/4)}=4$, $y_V=-\dfrac{16}{4}+8+5=9$, cioè $V(4;9)$. Intersezioni con l’asse $x$: $-\dfrac{x^2}{4}+2x+5=0\Rightarrow x^2-8x-20=0\Rightarrow x=10,\,-2$; con l’asse $y$: $(0;5)$. Lina. $\cap x$: $(2;0)$; $\cap y$: $(0;-4)$. (c) Intersezioni Gina–Lina: $-\dfrac{x^2}{4}+2x+5=2x-4\Rightarrow -\dfrac{x^2}{4}+9=0\Rightarrow x^2=36\Rightarrow x=\pm6$. Per $x=6$: $y=8$, punto $(6;8)$; per $x=-6$: $y=-16$, punto $(-6;-16)$. (d) Gina sopra Lina: $-\dfrac{x^2}{4}+9>0\Rightarrow x^2<36\Rightarrow -6<x<6$. $\boxed{V(4;9);\quad (6;8)\ \text{e}\ (-6;-16);\quad \text{Gina}>\text{Lina}\ \text{per}\ -6<x<6.}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della retta · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico