Riconoscere parabola e retta dal grafico e loro intersezioni

Testo

Nel grafico sono disegnate una parabola (con vertice in $(-2;0)$, passante per $(0;-2)$) e una retta. Rispondi:

• (a) dimostra che la parabola disegnata ha equazione $y=-\dfrac{x^2}{2}-2x-2$;
• (b) trova l’equazione della retta disegnata, che passa per $(0;-4)$ e $(-2;0)$;
• (c) trova algebricamente le intersezioni tra retta e parabola.

Soluzione

(a) Dal vertice $V(-2;0)$ scrivo la parabola in forma canonica $y=a(x+2)^2$. Impongo il passaggio per $(0;-2)$: $-2=a\cdot4\Rightarrow a=-\dfrac12$. Sviluppando: $y=-\frac12(x+2)^2=-\frac12(x^2+4x+4)=-\frac{x^2}{2}-2x-2.$ (b) La retta per $(0;-4)$ e $(-2;0)$ ha pendenza $m=\dfrac{0-(-4)}{-2-0}=-2$ e intercetta $-4$: $y=-2x-4.$ (c) Intersezioni: $-\dfrac{x^2}{2}-2x-2=-2x-4$, cioè $-\dfrac{x^2}{2}+2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2$. Per $x=-2$: $y=0$, punto $(-2;0)$; per $x=2$: $y=-8$, punto $(2;-8)$. $\boxed{(-2;0)\ \text{e}\ (2;-8).}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Equazione della retta · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico