Rettangolo di perimetro dato: area massima

Testo

Un rettangolo ha perimetro $24$; la base è $x$.

• (a) mostra che l’altezza $h$ dipende da $x$ come una retta e scrivila; quanto vale $h$ per $x=1$ e per $x=3$?
• (b) scrivi l’area come funzione di $x$; quanto vale per $x=1$ e $x=3$?
• (c) mostra che l’area è una parabola con la concavità verso il basso, trovane il vertice, deduci l’area massima e la $x$ corrispondente.

Soluzione

(a) Altezza. Il perimetro è $2(x+h)=24$, quindi $x+h=12$ e $h=12-x$ È una retta (funzione di primo grado in $x$). In particolare $h(1)=11$ e $h(3)=9$.

(b) Area. $A(x)=x\cdot h=x(12-x)=-x^2+12x$. In particolare $A(1)=1\cdot11=11$ e $A(3)=3\cdot9=27$.

(c) Area massima. $A(x)=-x^2+12x$ ha $a=-1<0$: è una parabola con concavità verso il basso. Il vertice è $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2(-1)}=6, \qquad A(6)=-36+72=36$ L’area massima è $36$, ottenuta per $x=6$ (il rettangolo è allora un quadrato $6\times6$). $\boxed{h=12-x\quad A=-x^2+12x\quad x_{\max}=6,\ A_{\max}=36}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Parabola · Problema di realtà · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico