Parabola e intersezione con una retta

Testo

Data la parabola $p:y=\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-1$ e la retta $r:\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}y+1=0$:

• (a) trova il vertice di $p$;
• (b) le intersezioni di $p$ con gli assi;
• (c) disegnala;
• (d) determina le intersezioni tra $p$ e $r$;
• (e) stabilisci se $B(1;0)$ appartiene a $p$.

Soluzione

Coefficienti di $p$: $a=\dfrac14$, $b=-\dfrac12$, $c=-1$; $a>0$ concavità verso l’alto.

(a) Vertice. $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac12}{2\cdot\frac14}=1, \qquad y_V=\frac14-\frac12-1=-\frac54=-1.25$ quindi $V(1;-1.25)$.

(b) Intersezioni con gli assi. Asse $x$: $\dfrac14x^2-\dfrac12x-1=0 \Rightarrow x^2-2x-4=0 \Rightarrow x=1\pm\sqrt5\approx 3.236,\ -1.236$. Asse $y$: $x=0 \Rightarrow y=-1$, cioè $(0;-1)$.

(c) Grafico. Parabola con concavità verso l’alto, vertice $V(1;-1.25)$, che taglia l’asse $x$ in $1\pm\sqrt5$ e l’asse $y$ in $(0;-1)$.

(d) Intersezioni $p\cap r$. La retta $r$, moltiplicata per $5$, è $2x+y+5=0$, cioè $y=-2x-5$. Sostituisco in $p$ e moltiplico per $4$: $\frac14x^2-\frac12x-1=-2x-5 \;\Longrightarrow\; x^2-2x-4=-8x-20 \;\Longrightarrow\; x^2+6x+16=0$ Il discriminante è $\Delta=36-64=-28<0$: nessuna soluzione reale, quindi $p$ e $r$ non si intersecano.

(e) Appartenenza di $B(1;0)$. $y(1)=-1.25\neq0$, quindi $B$ non appartiene a $p$. $\boxed{V(1;-1.25)\quad (0;-1)\quad p\cap r=\varnothing\ (\Delta<0)\quad B\notin p}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Intersezione retta parabola · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico