Problema del georettangolo: area come parabola

Testo

In una terra fiabesca un “georettangolo” ha area descritta da una parabola dipendente da $x$ (gli anni). Il georettangolo nasce con area $0$ per $x=0$; all’età di $4$ anni ha area $8$; all’età di $10$ anni ha area $5$.

• (a) determina come l’area dipende da $x$ e descrivine il grafico;
• (b) stabilisci a che età l’area torna a $0$ (muore);
• (c) stabilisci a che età l’area è massima (è un quadrato).

Soluzione

(a) Modello. Scrivo l’area come $A(x)=ax^2+bx+c$. Il passaggio per $(0;0)$ dà $c=0$. Restano le condizioni: $A(4)=8:\ 16a+4b=8 \Rightarrow 4a+b=2$ $A(10)=5:\ 100a+10b=5 \Rightarrow 10a+b=0.5$ Sottraggo la prima dalla seconda: $6a=-1.5 \Rightarrow a=-\dfrac14$, quindi $b=2-4a=2+1=3$. $A(x)=-\frac14x^2+3x$ È una parabola con concavità verso il basso (poiché $a<0$), passante per l’origine.

(b) Quando muore. $A(x)=0$: $x\left(-\frac{x}{4}+3\right)=0 \Rightarrow x=0 \ \text{oppure}\ x=12$ Oltre la nascita, l’area torna a $0$ a $x=12$ anni.

(c) Area massima. Il vertice ha $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\left(-\frac14\right)}=6, \qquad A(6)=-\frac14(36)+3(6)=-9+18=9$ L’area è massima ($9$, quando è un quadrato) a $x=6$ anni. $\boxed{A(x)=-\tfrac14x^2+3x\quad \text{muore a }x=12\quad \text{max }A=9\text{ a }x=6}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Parabola · Problema di realtà · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico