Parabola: vertice e intersezioni con gli assi

Testo

Data la parabola $y=\dfrac{x^2}{2}+3x+4$:

• (a) determina le coordinate del vertice;
• (b) determina le intersezioni con l’asse $x$;
• (c) determina l’intersezione con l’asse $y$;
• (d) disegna la parabola.

Soluzione

I coefficienti sono $a=\dfrac12$, $b=3$, $c=4$. Poiché $a>0$ la concavità è rivolta verso l’alto.

(a) Vertice. $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot\frac12}=-3$ $y_V=\frac{(-3)^2}{2}+3(-3)+4=\frac92-9+4=-\frac12$ Quindi $V\left(-3;\,-\dfrac12\right)$.

(b) Intersezioni con l’asse $x$ (pongo $y=0$): $\frac{x^2}{2}+3x+4=0 \;\Longrightarrow\; x^2+6x+8=0 \;\Longrightarrow\; (x+2)(x+4)=0$ da cui $x=-4$ e $x=-2$: i punti sono $(-4;\,0)$ e $(-2;\,0)$.

(c) Intersezione con l’asse $y$ (pongo $x=0$): $y=\frac{0}{2}+0+4=4 \;\Longrightarrow\; (0;\,4)$

(d) Grafico. Parabola con concavità verso l’alto, vertice in $V\left(-3;-\dfrac12\right)$, che taglia l’asse $x$ in $(-4;0)$ e $(-2;0)$ e l’asse $y$ in $(0;4)$. $\boxed{V\left(-3;-\tfrac12\right)\quad (-4;0),\ (-2;0)\quad (0;4)}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico