Punti di una parabola a distanza fissata da una retta

Testo

Determina i punti della parabola $y=4-x^2$ che distano esattamente $1$ dalla retta $y=\dfrac{3x}{4}$.

Soluzione

La retta è $3x-4y=0$, con $\sqrt{3^2+4^2}=5$. Un punto della parabola è $P(t;\,4-t^2)$; imponiamo la distanza $1$: $\frac{|3t-4(4-t^2)|}{5}=1 \implies |4t^2+3t-16|=5.$ Da qui due equazioni:

• $4t^2+3t-16=5 \implies 4t^2+3t-21=0 \implies t=\dfrac{-3\pm\sqrt{345}}{8}$;
• $4t^2+3t-16=-5 \implies 4t^2+3t-11=0 \implies t=\dfrac{-3\pm\sqrt{185}}{8}$.

Si ottengono quattro punti, con ascisse $t\approx 1{,}95,\ -2{,}70,\ 1{,}32,\ -2{,}08$ e ordinata $4-t^2$.

$\boxed{t=\frac{-3\pm\sqrt{345}}{8}\quad\text{e}\quad t=\frac{-3\pm\sqrt{185}}{8}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Distanza punto retta · Parabola · Retta
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico