Parabola esterna a una retta al variare di un parametro

Testo

Trova per quali valori del parametro $r$ la parabola $y=x^2+rx+r$ è esterna alla retta $y=2x+1$ (cioè non la interseca).

Soluzione

Intersechiamo parabola e retta: $x^2+rx+r=2x+1 \implies x^2+(r-2)x+(r-1)=0.$ “Esterna” significa nessuna intersezione reale, quindi discriminante negativo: $\Delta=(r-2)^2-4(r-1)=r^2-8r+8<0.$ Gli zeri di $r^2-8r+8$ sono $r=\dfrac{8\pm\sqrt{32}}{2}=4\pm2\sqrt2$, e la parabola in $r$ è negativa tra essi: $\boxed{4-2\sqrt2<r<4+2\sqrt2}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Intersezione retta parabola · Parabola
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico