I sei casi della parabola

Combinando il segno di $a$ ($a>0$ vs $a<0$) con il segno di $\Delta$ ($\Delta>0$, $\Delta=0$, $\Delta<0$) si ottengono sei casi, riassunti nella figura qui sotto. Imparali a memoria: ogni disequazione di secondo grado ricade in uno di questi sei schemi.

I sei casi ottenuti combinando il segno di $a$ (concavità) con il segno di $\Delta$ (numero di zeri).

In sintesi — Le sei regole pratiche

$a$	$\Delta$	$y > 0$ quando	$y < 0$ quando
$>0$	$>0$	$x<x_1$ o $x>x_2$	$x_1<x<x_2$
$>0$	$=0$	$\forall x \neq x_0$	mai
$>0$	$<0$	$\forall x\in\mathbb{R}$	mai
$<0$	$>0$	$x_1<x<x_2$	$x<x_1$ o $x>x_2$
$<0$	$=0$	mai	$\forall x\neq x_0$
$<0$	$<0$	mai	$\forall x\in\mathbb{R}$

Attenzione — Il caso $\Delta=0$

Quando $\Delta = 0$ il discorso ”$y\ge 0$ ovunque” o ”$y\le 0$ ovunque” rimane vero, ma fai attenzione al caso di uguaglianza: nel punto di tangenza $x_0$ il valore è proprio $0$, non strettamente positivo o negativo. Quindi:

• $a>0,\, \Delta=0$: $y\ge 0$ sempre; $y > 0$ per ogni $x\neq x_0$; $y \le 0$ solo in $x=x_0$.
• $a<0,\, \Delta=0$: $y\le 0$ sempre; $y < 0$ per ogni $x\neq x_0$; $y \ge 0$ solo in $x=x_0$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Concavita · Discriminante · Disequazione secondo grado · Parabola
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi