Disequazioni

Finora abbiamo cercato i valori che rendono un’espressione uguale a zero; ora vogliamo sapere quando è positiva o negativa. È un cambiamento di prospettiva apparentemente piccolo, ma in realtà fondamentale: invece di trovare punti, cerchiamo intervalli di valori. Il capitolo parte dalle disequazioni di primo grado (con la temuta regola del cambio di verso), passa alle disequazioni di secondo grado lette dal grafico della parabola, e arriva allo strumento più potente di tutti: la tabella dei segni, che permette di affrontare disequazioni di grado superiore e disequazioni fratte studiando il segno fattore per fattore. Chiudono il capitolo i sistemi di disequazioni e le disequazioni letterali con parametro.

In sintesi — Equazioni vs. Disequazioni: confronto dei metodi

	Equazione ($=0$)	Disequazione ($\gtrless 0$)
I grado	Isola $x$ con i principi	Isola $x$; cambia verso se moltiplichi per un numero $<0$
II grado	Formula: $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$	Segno della parabola: leggi dal grafico dove sta sopra/sotto l’asse $x$
Grado $\ge 3$	Scomponi e poni ogni fattore $=0$	Scomponi e fai la tabella dei segni
Fratte	Scomponi, C.E., poni $N(x)=0$	Scomponi, C.E., tabella dei segni di $\frac{N(x)}{D(x)}$

Sezioni

• Disequazioni di primo grado
• Disequazioni di secondo grado
• Studio del segno: grado superiore e fratte
• Sistemi di disequazioni
• Disequazioni letterali

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

So far we have looked for the values that make an expression equal to zero; now we want to know when it is positive or negative. It is an apparently small change of perspective, but in reality a fundamental one: instead of finding points, we look for intervals of values. The chapter starts from first-degree inequalities (with the dreaded sign-reversal rule), moves on to second-degree inequalities read off the graph of the parabola, and arrives at the most powerful tool of all: the sign table, which allows you to tackle higher-degree inequalities and rational inequalities by studying the sign factor by factor. The chapter closes with systems of inequalities and literal inequalities with a parameter.

In brief — Equations vs. Inequalities: a comparison of the methods

	Equation ($=0$)	Inequality ($\gtrless 0$)
1st degree	Isolate $x$ using the principles	Isolate $x$; reverse the sign if you multiply by a number $<0$
2nd degree	Formula: $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$	Sign of the parabola: read off the graph where it lies above/below the $x$-axis
Degree $\ge 3$	Factorise and set each factor $=0$	Factorise and build the sign table
Rational	Factorise, domain conditions, set $N(x)=0$	Factorise, domain conditions, sign table of $\frac{N(x)}{D(x)}$

Sezioni

• First-degree inequalities
• Second-degree inequalities
• Sign analysis: higher-degree and rational
• Systems of inequalities
• Literal inequalities

Esercizi

• All the worked exercises of the chapter