Rettangolo di area massima con lato parallelo a un cateto

Testo

Un triangolo rettangolo ha il cateto $AB$ di lunghezza $3$ e il cateto $AC$ di lunghezza $4$ (angolo retto in $A$). Traccia la parallela ad $AC$, che interseca l’altro cateto in $S$ e l’ipotenusa in $R$. Da $R$ manda la perpendicolare ad $AC$, che lo interseca in $T$. Determina i lati del rettangolo $ASRT$ così costruito in modo che la sua area sia massima.

Soluzione

Pongo $A(0;0)$, $B(3;0)$ (cateto $AB$ sull’asse $x$) e $C(0;4)$ (cateto $AC$ sull’asse $y$). La parallela ad $AC$ è una retta verticale $x=s$: interseca $AB$ in $S(s;0)$ e l’ipotenusa $BC$ in $R$. La perpendicolare ad $AC$ da $R$ è orizzontale e incontra $AC$ in $T(0;y_R)$; il rettangolo $ASRT$ ha area $\mathcal A=s\cdot y_R$. L’ipotenusa $BC$: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1\Rightarrow y=4\!\left(1-\dfrac{s}{3}\right)$. Dunque $\mathcal A(s)=s\cdot4\!\left(1-\frac{s}{3}\right)=4s-\frac43 s^2,$ parabola concava verso il basso, massima nel vertice: $s=-\frac{4}{2\cdot(-\tfrac43)}=\frac32,\qquad y_R=4\!\left(1-\frac{1/2\cdot3}{3}\right)=2.$ Quindi $AS=\dfrac32$, $AT=2$ e $\boxed{\mathcal A_{\max}=\frac32\cdot2=3.}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Area · Massimo · Parabola
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione