Rettangolo inscritto di area massima in un triangolo rettangolo

Testo

Nel triangolo $A\hat{C}B$, rettangolo in $\hat{C}$, si ha $\overline{AC}=3$ e $\overline{BC}=4$. Prendi un punto $P$ sull’ipotenusa $AB$ e manda da esso le perpendicolari ai cateti, che incontrano $AC$ in $R$ e $BC$ in $S$. Determina dove prendere $P$ affinché il rettangolo $PRCS$ abbia area massima.

Soluzione

Pongo il vertice retto nell’origine: $C(0;0)$, $A(3;0)$, $B(0;4)$. Sia $P(x;y)$ sull’ipotenusa, con $R(x;0)$ su $AC$ e $S(0;y)$ su $BC$; il rettangolo $PRCS$ ha area $\;\mathcal A=x\,y$. L’ipotenusa $AB$ ha equazione $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$, da cui $y=4\!\left(1-\dfrac{x}{3}\right)$. Allora $\mathcal A(x)=x\cdot4\!\left(1-\frac{x}{3}\right)=4x-\frac{4}{3}x^2,$ parabola con concavità verso il basso; il massimo è nel vertice: $x=-\frac{4}{2\cdot(-\tfrac43)}=\frac{3}{2},\qquad y=4\!\left(1-\frac{1/2\cdot3}{3}\right)=2.$ Dunque $P$ è il punto medio dell’ipotenusa, $R$ il punto medio di $AC$, e $\boxed{\mathcal A_{\max}=\frac32\cdot2=3.}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Area · Massimo · Parabola
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione