Problema — Bisettrici degli angoli alla base congruenti

Testo

Sia $PQR$ un triangolo isoscele di base $QR$, con $PQ \cong PR$. La bisettrice dell’angolo $\widehat{Q}$ incontra il lato $PR$ in $S$, mentre la bisettrice dell’angolo $\widehat{R}$ incontra il lato $PQ$ in $T$. Dimostrare che i segmenti $QS$ e $RT$ sono congruenti.

Soluzione

Il triangolo è isoscele di base $QR$, quindi gli angoli alla base sono congruenti: $\widehat{PQR} \cong \widehat{PRQ}.$ Poiché $QS$ e $RT$ ne sono le bisettrici, anche le loro metà sono congruenti: $\widehat{SQR} = \frac{1}{2}\,\widehat{PQR} \cong \frac{1}{2}\,\widehat{PRQ} = \widehat{TRQ}.$

Confrontiamo i triangoli $QRS$ e $RQT$:

• $QR$ è lato in comune;
• $\widehat{SQR} \cong \widehat{TRQ}$ (metà degli angoli alla base, appena visto);
• $\widehat{SRQ} \cong \widehat{TQR}$ (sono gli interi angoli alla base $\widehat{PRQ}$ e $\widehat{PQR}$, congruenti).

Per il secondo criterio di congruenza (ASA) i due triangoli sono congruenti: $\triangle QRS \cong \triangle RQT.$ A lati corrispondenti (opposti agli angoli congruenti $\widehat{SRQ}$ e $\widehat{TQR}$) segue $QS \cong RT. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Bisettrice · Criteri congruenza · Retta · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione