Problema — Bisettrici di angoli opposti al vertice

Testo

Due rette si incontrano nel punto $O$ individuando due coppie di angoli opposti al vertice. Dimostrare che le bisettrici di due angoli opposti al vertice sono semirette opposte, cioè giacciono su una stessa retta.

Soluzione

Siano $OA$ e $OA'$ due semirette opposte (prima retta) e $OB$, $OB'$ due semirette opposte (seconda retta). Gli angoli $\widehat{AOB}$ e $\widehat{A'OB'}$ sono opposti al vertice, quindi congruenti; poniamo $\widehat{AOB} = \gamma$.

Sia $Os$ la bisettrice di $\widehat{AOB}$ e $Os'$ la bisettrice di $\widehat{A'OB'}$. Allora $\widehat{sOB} = \frac{\gamma}{2}, \qquad \widehat{B'Os'} = \frac{1}{2}\,\widehat{A'OB'} = \frac{\gamma}{2}.$

Consideriamo l’angolo $\widehat{sOs'}$ ottenuto passando da $Os$ a $Os'$ attraverso le semirette $OB$ e $OA'$: $\widehat{sOs'} = \widehat{sOB} + \widehat{BOA'} + \widehat{A'Os'}.$ Ora $\widehat{BOA'}$ è l’angolo formato da $OB$ con la semiretta $OA'$, opposta ad $OA$, quindi supplementare di $\widehat{AOB}$: $\widehat{BOA'} = 180^\circ - \gamma.$ Inoltre $\widehat{A'Os'} = \widehat{B'Os'} = \dfrac{\gamma}{2}$ (la bisettrice di $\widehat{A'OB'}$ dista mezzo angolo da ciascuno dei suoi lati). Sommando: $\widehat{sOs'} = \frac{\gamma}{2} + (180^\circ - \gamma) + \frac{\gamma}{2} = 180^\circ.$

L’angolo $\widehat{sOs'}$ è piatto, dunque $Os$ e $Os'$ sono semirette opposte e giacciono sulla stessa retta. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Bisettrice · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione