Problema — Bisettrici di angoli adiacenti perpendicolari

Testo

Siano $\widehat{POQ}$ e $\widehat{QOR}$ due angoli adiacenti (quindi con $OP$ e $OR$ semirette opposte). Dimostrare che le loro bisettrici sono perpendicolari, cioè che l’angolo da esse formato misura $90^\circ$.

Soluzione

Poiché i due angoli sono adiacenti, sono supplementari: $\widehat{POQ} + \widehat{QOR} = 180^\circ.$ Poniamo $\widehat{POQ} = \alpha$ e $\widehat{QOR} = \beta$, con $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Sia $Os$ la bisettrice di $\widehat{POQ}$ e $Ot$ la bisettrice di $\widehat{QOR}$. Per definizione di bisettrice $\widehat{QOs} = \frac{\alpha}{2}, \qquad \widehat{QOt} = \frac{\beta}{2}.$

Le semirette $Os$ e $Ot$ stanno da parti opposte rispetto a $OQ$, quindi l’angolo tra le due bisettrici è la somma: $\widehat{sOt} = \widehat{QOs} + \widehat{QOt} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$

Dunque le bisettrici sono perpendicolari: $\boxed{\widehat{sOt} = 90^\circ}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli supplementari · Angolo · Bisettrice · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione