Problema — Le bisettrici di un parallelogramma formano un rettangolo

Testo

Sia $WXYZ$ un parallelogramma. Dimostra che le bisettrici dei suoi quattro angoli interni, intersecandosi, individuano un rettangolo.

(figura originale: parallelogramma $WXYZ$ con le quattro bisettrici e il rettangolo da esse individuato)

Soluzione

In un parallelogramma due angoli consecutivi sono supplementari; in particolare $\widehat{W}+\widehat{X}=180^\circ$. Siano $w,x,y,z$ le bisettrici degli angoli in $W,X,Y,Z$. Le bisettrici $w$ e $x$, relative ai vertici consecutivi $W$ e $X$, si incontrano in un punto $P$. Nel triangolo $WXP$: $\widehat{PWX}=\tfrac12\widehat{W},\qquad \widehat{PXW}=\tfrac12\widehat{X},$ quindi $\widehat{PWX}+\widehat{PXW}=\tfrac12(\widehat{W}+\widehat{X})=\tfrac12\cdot 180^\circ=90^\circ,$ da cui $\widehat{WPX}=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Con lo stesso ragionamento le bisettrici relative alle altre coppie di vertici consecutivi si incontrano in $Q$ (da $X$ e $Y$), $R$ (da $Y$ e $Z$), $S$ (da $Z$ e $W$), formando in ciascun punto un angolo retto. Nel quadrilatero $PQRS$ l’angolo in $P$ è $\widehat{SPQ}$, opposto al vertice di $\widehat{WPX}$, dunque anch’esso retto; in modo analogo sono retti gli angoli in $Q$, $R$, $S$. Un quadrilatero con quattro angoli retti è un rettangolo. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Bisettrice · Parallelogramma · Retta · Rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione