Problema — Il parallelogramma di Varignon e le sue classificazioni

Testo

Sia $EFGH$ un quadrilatero qualsiasi e siano $P$, $Q$, $R$, $S$ i punti medi dei lati $EF$, $FG$, $GH$, $HE$ rispettivamente.

• (a) Dimostra che $PQRS$ è un parallelogramma.
• (b) Stabilisci a quali condizioni sulle diagonali $EG$ e $FH$ del quadrilatero di partenza il parallelogramma $PQRS$ è un rettangolo, un rombo, un quadrato.

(figura originale: quadrilatero $EFGH$ con i punti medi dei lati e il parallelogramma $PQRS$)

Soluzione

(a) Tracciamo la diagonale $EG$. Nel triangolo $EFG$ i punti $P$ e $Q$ sono i punti medi dei lati $EF$ e $FG$: per il teorema dei punti medi $PQ \parallel EG$ e $PQ \cong \tfrac12 EG$. Nel triangolo $GHE$ i punti $R$ e $S$ sono i punti medi dei lati $GH$ e $HE$: quindi $SR \parallel EG$ e $SR \cong \tfrac12 EG$. Ne segue che $PQ \parallel SR$ e $PQ \cong SR$: avendo una coppia di lati opposti paralleli e congruenti, $PQRS$ è un parallelogramma. $\;\blacksquare$ Tracciando l’altra diagonale $FH$ si ottiene analogamente $QR \parallel FH$, $PS \parallel FH$ e $QR \cong PS \cong \tfrac12 FH$.

(b) I lati consecutivi $PQ$ e $QR$ del parallelogramma sono paralleli rispettivamente alle diagonali $EG$ e $FH$, e misurano $\tfrac12 EG$ e $\tfrac12 FH$. Perciò:

• $PQRS$ è un rettangolo $\iff$ $PQ \perp QR$ $\iff$ $EG \perp FH$: le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari.
• $PQRS$ è un rombo $\iff$ $PQ \cong QR$ $\iff$ $\tfrac12 EG \cong \tfrac12 FH$ $\iff$ $EG \cong FH$: le diagonali sono congruenti.
• $PQRS$ è un quadrato $\iff$ valgono entrambe le condizioni: le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari e congruenti. $\boxed{PQRS\ \text{parallelogramma};\quad \text{rettangolo}\iff EG\perp FH,\ \ \text{rombo}\iff EG\cong FH,\ \ \text{quadrato}\iff\text{entrambe}}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Diagonale · Parallelogramma · Piano cartesiano · Punto medio · Quadrato · Quadrilatero · Rettangolo · Rombo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione