Problema — Bisettrici di angoli corrispondenti parallele

Testo

Le rette parallele $u$ e $v$ sono intersecate da una trasversale $n$, che le incontra rispettivamente nei punti $P$ e $Q$. Considera due angoli corrispondenti, uno di vertice $P$ e uno di vertice $Q$, e traccia le rispettive bisettrici $g$ e $h$. Dimostra che $g$ e $h$ sono parallele.

Soluzione

Poiché $u \parallel v$ e $n$ è una trasversale, i due angoli corrispondenti di vertici $P$ e $Q$ sono congruenti; indichiamo con $2\delta$ la loro ampiezza comune.

La bisettrice $g$ divide l’angolo di vertice $P$ in due parti uguali, ciascuna di ampiezza $\delta$; allo stesso modo la bisettrice $h$ divide l’angolo di vertice $Q$ in due parti uguali, ciascuna di ampiezza $\delta$.

Prendiamo la retta $PQ$ (cioè la trasversale $n$) come trasversale delle due rette $g$ e $h$. Poiché i due angoli originari sono corrispondenti e le loro bisettrici corrispondenti occupano posizioni omologhe rispetto a $n$, l’angolo che $g$ forma con $n$ e l’angolo che $h$ forma con $n$, presi nella stessa posizione (entrambi dallo stesso lato di $n$ e dallo stesso lato delle rispettive rette bisecate), misurano entrambi $\delta$: sono dunque angoli corrispondenti congruenti.

Per il criterio di parallelismo (se due rette tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti, allora sono parallele), risulta $g \parallel h$. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli corrispondenti · Bisettrice · Retta · Rette parallele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione