Problema — Bisettrici di angoli alterni interni parallele

Testo

Due rette parallele $r$ e $s$ sono tagliate da una trasversale $m$, che incontra $r$ nel punto $A$ e $s$ nel punto $B$. Considera una coppia di angoli alterni interni: uno con vertice $A$ e uno con vertice $B$. Traccia la bisettrice $p$ del primo e la bisettrice $q$ del secondo. Dimostra che $p$ e $q$ sono parallele.

Soluzione

Poiché $r \parallel s$ e $m$ è una trasversale, i due angoli alterni interni con vertici $A$ e $B$ sono congruenti; indichiamo con $2\gamma$ la loro ampiezza comune.

La bisettrice $p$ divide l’angolo di vertice $A$ in due angoli di ampiezza $\gamma$; analogamente la bisettrice $q$ divide l’angolo di vertice $B$ in due angoli di ampiezza $\gamma$.

Consideriamo ora la retta $AB$ (cioè la trasversale $m$ stessa) come trasversale delle due rette $p$ e $q$. L’angolo che $p$ forma con $AB$, misurato dalla parte interna alle due parallele, vale $\gamma$; l’angolo che $q$ forma con $AB$, dalla parte interna e dal lato opposto rispetto a $m$, vale anch’esso $\gamma$. Questi due angoli sono dunque angoli alterni interni congruenti.

Per il criterio di parallelismo (se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele), concludiamo che $p \parallel q$. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Bisettrice · Retta · Rette parallele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione