Il rombo e la diagonale bisettrice

C’è una seconda condizione che trasforma un parallelogramma in rombo: basta che una diagonale sia bisettrice di un angolo. L’idea è usare il parallelismo per far comparire un triangolo isoscele.

Teorema — Rombo (diagonale bisettrice)

Se in un parallelogramma una diagonale è bisettrice di un angolo, allora il parallelogramma è un rombo.

Dimostrazione

L’idea è sfruttare il parallelismo dei lati per trasformare l’ipotesi di bisettrice in una proprietà di isoscelismo.

1. Ipotesi. $ABCD$ parallelogramma. La diagonale $AC$ è bisettrice di $\widehat{A}$: $\widehat{DAC}\cong\widehat{BAC}$.
2. Osservo. Poiché $BC\parallel DA$ e $AC$ è trasversale, gli angoli alterni interni dànno $\widehat{BCA}\cong\widehat{DAC}$.
3. Deduco. Combinando: $\widehat{DCA}\cong\widehat{DAC}$, il che rende il triangolo $DAC$ isoscele e dunque $DC\cong DA$.
4. Verificato. Poiché in un parallelogramma i lati opposti sono congruenti ($DC\cong AB$, $DA\cong BC$), segue $DA\cong DC\cong AB\cong BC$: $ABCD$ è un rombo.

$\blacksquare$

Proprietà — Condizioni per il rombo

Un parallelogramma è un rombo se e solo se:

1. le diagonali sono perpendicolari,   oppure
2. una diagonale è bisettrice di un angolo.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Bisettrice · Dimostrazione · Parallelogramma · Retta · Rombo · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica